Pendahuluan
Limit fungsi aljabar menjadi materi penting dalam matematika, terutama dalam kalkulus. Pada dasarnya, limit adalah nilai yang diperoleh oleh sebuah fungsi ketika variabel inputnya mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas rangkuman limit fungsi aljabar dengan bahasa yang santai dan mudah dipahami.
Pengertian Limit
Limit fungsi dapat didefinisikan sebagai nilai yang didekati oleh sebuah fungsi ketika variabel input mendekati suatu nilai tertentu. Secara matematis, limit dapat dituliskan sebagai berikut:
Limit f(x) saat x mendekati a = L
Artinya, nilai f(x) mendekati L ketika x mendekati a. Dalam hal ini, a bisa berupa bilangan riil positif atau negatif.
Cara Menghitung Limit
Untuk menghitung limit fungsi aljabar, terdapat beberapa metode yang bisa digunakan, antara lain:
Metode Substitusi
Metode ini digunakan ketika fungsi dapat disederhanakan dengan mengganti nilai variabel input dengan nilai yang diberikan. Contohnya:
Hitung limit dari f(x) = 2x^2 – 3x + 1 saat x mendekati 2
Kita dapat langsung mengganti x dengan nilai 2 dalam persamaan f(x) dan menghitung hasilnya:
f(2) = 2(2)^2 – 3(2) + 1 = 5
Sehingga, limit f(x) saat x mendekati 2 adalah 5.
Metode Penyederhanaan
Metode ini digunakan ketika fungsi dapat disederhanakan dengan melakukan faktorisasi atau pemfaktoran. Contohnya:
Hitung limit dari f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2) saat x mendekati 2
Kita dapat menyederhanakan fungsi dengan melakukan faktorisasi (x^2 – 4) menjadi (x – 2)(x + 2). Sehingga, persamaan f(x) dapat ditulis ulang menjadi:
f(x) = (x – 2)(x + 2)/(x – 2)
Kita dapat membatalkan faktor (x – 2) pada pembilang dan penyebut, sehingga didapatkan:
f(x) = x + 2
Sehingga, limit f(x) saat x mendekati 2 adalah 4.
Metode Pembagian
Metode ini digunakan ketika fungsi dapat disederhanakan dengan melakukan pembagian. Contohnya:
Hitung limit dari f(x) = (x^3 – 8)/(x^2 – 4) saat x mendekati 2
Kita dapat melakukan pembagian pada kedua polinomial, sehingga didapatkan:
f(x) = (x – 2)(x^2 + 2x + 4)/(x – 2)(x + 2)
Kita dapat membatalkan faktor (x – 2) pada pembilang dan penyebut, sehingga didapatkan:
f(x) = (x^2 + 2x + 4)/(x + 2)
Sehingga, limit f(x) saat x mendekati 2 adalah 6.
Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar
1. Hitung limit dari f(x) = 3x^2 – 2x + 5 saat x mendekati 1.Jawaban:Kita dapat langsung mengganti x dengan nilai 1 dalam persamaan f(x) dan menghitung hasilnya:
f(1) = 3(1)^2 – 2(1) + 5 = 6
Sehingga, limit f(x) saat x mendekati 1 adalah 6.2. Hitung limit dari f(x) = (x^2 – 5x + 6)/(x – 3) saat x mendekati 3.Jawaban:Kita dapat menyederhanakan fungsi dengan melakukan faktorisasi (x^2 – 5x + 6) menjadi (x – 2)(x – 3). Sehingga, persamaan f(x) dapat ditulis ulang menjadi:
f(x) = (x – 2)(x – 3)/(x – 3)
Kita dapat membatalkan faktor (x – 3) pada pembilang dan penyebut, sehingga didapatkan:
f(x) = x – 2
Sehingga, limit f(x) saat x mendekati 3 adalah 1.3. Hitung limit dari f(x) = (x^3 – 3x^2 + 2x)/(x^2 – x – 2) saat x mendekati 2.Jawaban:Kita dapat melakukan pembagian pada kedua polinomial, sehingga didapatkan:
f(x) = x(x – 1)/(x – 2)(x + 1)
Kita dapat membatalkan faktor (x – 2) pada pembilang dan penyebut, sehingga didapatkan:
f(x) = x/(x + 1)
Sehingga, limit f(x) saat x mendekati 2 adalah 2/3.
Kesimpulan
Dalam rangkuman limit fungsi aljabar, kita telah membahas mengenai pengertian limit, cara menghitung limit menggunakan metode substitusi, penyederhanaan, dan pembagian, serta contoh soal limit fungsi aljabar. Pemahaman mengenai limit fungsi aljabar sangat penting dalam pemecahan masalah matematis, terutama dalam kalkulus.
