Pengenalan Trigonometri
Trigonometri merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sudut dan sisi segitiga. Konsep-konsep dalam trigonometri sangat penting dalam bidang matematika, fisika, astronomi, dan teknik. Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep dasar trigonometri beserta contoh soal yang mudah dipahami.
Unit Sudut
Degree dan Radian
Sudut dinyatakan dengan satuan derajat (°) atau radian (rad). Satu derajat sama dengan 1/360 dari lingkaran penuh, sedangkan satu radian sama dengan besar sudut yang dibentuk oleh busur yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Satu lingkaran penuh sama dengan 360° atau 2π rad.
Konversi Derajat ke Radian
Untuk mengkonversi sudut dari derajat ke radian, kita gunakan rumus berikut:
sudut dalam radian = (sudut dalam derajat × π) / 180
Konversi Radian ke Derajat
Untuk mengkonversi sudut dari radian ke derajat, kita gunakan rumus berikut:
sudut dalam derajat = (sudut dalam radian × 180) / π
Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku
Rumus Dasar Trigonometri
Dalam segitiga siku-siku, terdapat tiga sisi yaitu sisi miring (hipotenusa) dan dua sisi lainnya yang tegak lurus satu sama lain (kaki-kaki). Ada tiga fungsi trigonometri dasar dalam segitiga siku-siku, yaitu sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan). Fungsi-fungsi tersebut dinyatakan sebagai rasio antara sisi kaki-kaki dan sisi miring segitiga.
| Fungsi | Rumus |
|---|---|
| sin | sin(θ) = a/c |
| cos | cos(θ) = b/c |
| tan | tan(θ) = a/b |
Contoh Soal
Jika diberikan sebuah segitiga siku-siku dengan sisi-sisi sebagai berikut:
– sisi miring (hipotenusa) = 10 cm
– sisi tegak (kaki-kaki) = 6 cm
– sisi tegak (kaki-kaki) = x cm
Maka, carilah nilai x dan hitunglah nilai sin, cos, dan tan dari sudut tumpul yang menghadap ke sisi x.
Untuk mencari nilai x, kita dapat menggunakan rumus Pythagoras, yaitu:
hipotenusa² = kaki-kaki² + kaki-kaki²
10² = 6² + x²
x = √(10² – 6²)
x = 8 cm
Maka, nilai x adalah 8 cm.
Untuk mencari nilai sin dari sudut tumpul θ, kita gunakan rumus sin:
sin(θ) = a/c
sin(θ) = 6/10
sin(θ) = 0.6
Maka, nilai sin dari sudut tumpul θ adalah 0.6.
Untuk mencari nilai cos dari sudut tumpul θ, kita gunakan rumus cos:
cos(θ) = b/c
cos(θ) = 8/10
cos(θ) = 0.8
Maka, nilai cos dari sudut tumpul θ adalah 0.8.
Untuk mencari nilai tan dari sudut tumpul θ, kita gunakan rumus tan:
tan(θ) = a/b
tan(θ) = 6/8
tan(θ) = 0.75
Maka, nilai tan dari sudut tumpul θ adalah 0.75.
Trigonometri dalam Lingkaran
Sudut Berelasi dalam Lingkaran
Dalam trigonometri, lingkaran berperan penting untuk menghitung nilai sinus, kosinus, dan tangen dari suatu sudut. Dalam lingkaran dengan jari-jari r, panjang busur yang dibentuk oleh sudut θ adalah s = rθ. Selain itu, terdapat beberapa sudut berelasi dalam lingkaran yang penting untuk dipahami, yaitu sudut pusat (θ), sudut keliling (α), sudut dalam busur yang sama (β), dan sudut luar busur yang sama (γ).
Fungsi Trigonometri dalam Lingkaran
Dalam lingkaran, nilai sin, cos, dan tan dari sudut segitiga yang dibentuk oleh jari-jari dan sisi lingkaran dapat dihitung dengan rumus berikut:
sin(θ) = sisi sejajar jari-jari / jari-jari
cos(θ) = sisi tegak lurus jari-jari / jari-jari
tan(θ) = sisi sejajar jari-jari / sisi tegak lurus jari-jari
Contoh Soal
Dalam sebuah lingkaran dengan jari-jari 5 cm, sudut keliling α yang dibentuk oleh busur lingkaran adalah 60°. Hitunglah nilai sin, cos, dan tan dari sudut keliling tersebut.
Untuk mencari panjang busur lingkaran s, kita dapat menggunakan rumus:
s = rθ
s = 5 × π × 60/180
s = 5π/3 cm
Maka, panjang busur lingkaran adalah 5π/3 cm.
Untuk mencari nilai sin dari sudut keliling α, kita gunakan rumus sin:
sin(α) = sisi sejajar jari-jari / jari-jari
sin(α) = s / r
sin(α) = (5π/3) / 5
sin(α) = π/3
Maka, nilai sin dari sudut keliling α adalah π/3.
Untuk mencari nilai cos dari sudut keliling α, kita gunakan rumus cos:
cos(α) = sisi tegak lurus jari-jari / jari-jari
cos(α) = r – (sisi sejajar jari-jari) / r
cos(α) = (5 – 5π/3) / 5
cos(α) = 1/2
Maka, nilai cos dari sudut keliling α adalah 1/2.
Untuk mencari nilai tan dari sudut keliling α, kita gunakan rumus tan:
tan(α) = sisi sejajar jari-jari / sisi tegak lurus jari-jari
tan(α) = (5π/3) / (5 – 5π/3)
tan(α) = π/3
Maka, nilai tan dari sudut keliling α adalah π/3.
